Théorème D'al Kashi

5 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi en utilisant les relations trigonométriques La figure 5 (ci-contre) indique la manière de procéder pour démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un triangle à angles aigus en utilisant le théorème de Pythagore sur un sous-triangle rectangle formé en prenant le pied de la hauteur. Seule la dernière étape n'est pas indiquée sur la figure: le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle dont le côté c est l' hypoténuse:, ce qui donne le résultat escompté, après simplification. La méthode est en tous points similaire pour les angles obtus. Par la Puissance d'un point par rapport à un cercle Fig. 6 - Démonstration du théorème d'al-Kashi en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle. On considère le cercle de centre B et de rayon [BC] (cf. figure ci-contre). Il coupe la droite (AC) en C et K. La puissance du point A par rapport au dit cercle est d'où. Contrairement aux précédentes, pour cette démonstration, il n'est pas nécessaire de recourir à une étude par cas.

Formule d'Al-Kashi (la loi des cosinus) - Cours, exercices et vidéos maths

Tout le monde connaît le théorème de Pythagore, qui permet de calculer la longueur des côtés d'un triangle rectangle grâce à la formule \(c^2 = b^2+a^2\) où \(c\) est l'hypoténuse du triangle. Cette formule s'avère alors très pratique pour résoudre de nombreux problèmes géométriques. Cependant, qu'en est-il pour les triangles non rectangles? Existe-t-il un théorème pour calculer la longueur de leurs côtés? Oui: le théorème d'Al-Kashi, que l'on voit, en général, quelques années après Pythagore, une fois que vecteurs et produits scalaires commencent à être maîtrisés. Formulation du théorème d'Al-Kashi Soit un triangle ABC quelconque où l'on note \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) et les angles \(\alpha\) en A, \(\beta\) en B, \(\gamma\) en C. Alors, on a les 3 égalités suivantes: $$\begin{cases} a^2 = c^2 + b^2 - 2 \cdot c \cdot b \cdot cos(\alpha) \\b^2 = c^2 + a^2 - 2 \cdot c \cdot a \cdot cos(\beta) \\c^2 = b^2 + a^2 - 2 \cdot b \cdot a \cdot cos(\gamma) \end{cases}$$ Démonstration du théorème d'Al-Kashi Tout d'abord, rappelons que: Un vecteur \(\vec{AB}\) correspond au déplacement du point A au point B: il a donc une direction, un sens et une norme \(||\vec{AB}||\) Le produit scalaire de 2 vecteurs peut être calculer de la manière suivante: \(\vec{u}.

Ce record sera battu 170 ans plus tard, en 1596, par le Hollandais van Ceulen, avec 20 décimales [ 4]. Miftah al-hisab (« Clé de l'arithmétique ») [ modifier | modifier le code] Dans cette œuvre terminée en 1427, Al-Kashi utilise l'arithmétique pour résoudre des problèmes relevant de divers domaines tels que l'astronomie, la finance ou l'architecture [ 2]. Instruments [ modifier | modifier le code] Al-Kashi est l'inventeur d'une sorte de calculateur analogique permettant de faire des interpolations linéaires, opérations très courantes en astronomie [ 5], [ 6], [ 7]. Œuvres (sélection) [ modifier | modifier le code] Jamshīd ibn Masʻūd Kāshī (auteur), Edward Stewart Kennedy (dir. ) et Mary Helen Kennedy (dir. ), Al-Kāshī's geographical table, vol. 77, partie 7, de Transactions of the American Philosophical Society, 1987 ( ISBN 0871697785 et 9780871697783) Gamšīd Ġiyāṯ al-Dīn al-Kāšī (auteur), Aḥmad Saʿīd al-Damirdāš (dir. ), Muḥammad Ḥamdī al-Ḥifnī al-Šayẖ (dir. ), مفتاح الحساب (Miftāḥ al-ḥisāb), Le Caire, 1967 ( Clé de l'arithmétique) — Ouvrage dédié à Oulough Beg [ 8] Annexes [ modifier | modifier le code] Notes et références [ modifier | modifier le code] ↑ On peut lire en ligne un extrait d'une lettre d'Al-Kashi à son père, traduit par David A. King et Mary Helen Kennedy (dir.

Application du théorème d’Al Kashi | Méthode Maths

Je suis un élève de première S et j'ai vraiment beaucoup de mal à comprendre en quoi consiste ce théorème. Je sais que c'est le théorème de pythagore génèralisé mais lorsque le professeur me demande de résoudre un exercice comme cos pi/8 je n'y arrive pas. il n'utilise aucune formule du cours et donc je ne comprend pas. aidez-moi svp... Le théorème d'Al-Kashi sert a calculer des longueurs et des angles dans tous les triangles même ceux qui ne sont pas rectangle. Je ne pense pas que ton professeur n'utilise aucune formule peut-être qu'il ne la note pas. La relation est dans un triangle ABC avec AB=a BC=b et CA=c, on peut établir la relation suivante: c²= a²+b²-2abcos c Donc il suffit d'utiliser cette formule et ça marche! Ton prof ne doit pas la marquer voila tout! π/4 = 2*π/8 En mettant un cosinus à droite et à gauche, et en utilisant une formule trigonométrique adéquate, on a le résultat en moins d'une fraction de seconde. courage:) tu dis que c'est dans l'application de al kashi. Il doit bien y avoir un contexte, un triangle?

partir des formules S = � ^A et a 2 c 2 - ^A, on peut �tablir la formule, dite de H�ron d'Alexandrie: donnant l'aire d'un triangle en fonction des seuls c�t�s: de la seconde formule, on exprime cos^A en fonction de a, b et c. On �l�ve au carr� et on on exprime alors sin 2 ^A = 1 - cos 2 ^A: On remarque que chaque parenth�se contient une identit� remarquable. En posant, traditionnellement, p = �(a + b + c), demi-p�rim�tre du triangle, on est conduit �: Or, l'aire S du triangle est � ^A. Ce qui �tablit la formule cherch�e. La formule ci-dessus appliqu�e aux angles ^B et ^C, conduit � la formule des sinus laquelle fut �tablie par Abu l'Rayhan Biruni pr�s de quatre si�cles auparavant: o� ces trois rapports sont �gaux au diam�tre 2R du cercle circonscrit. Preuve �l�mentaire de cette formule (niveau 3�) | exemples d'application Valeur approch�e d'une racine n-�me: Lorsque N d�signe un nombre entier, soit x le plus grand entier tel que x n ≤ N, c'est � dire la partie enti�re de la racine n-�me de N. Al-Kashi propose la formule: (rac-n) Dans le cas d'une racine carr�e (n = 2), on a (x + 1) 2 - x 2 = 2x + 1, d'o� la formule: Exemple: soit � calculer une valeur approch�e de la racine cubique de 79656.

  1. Console pour entrée etroite
  2. Assurance habitation pas cher comparateur
  3. Le th�or�me d'Al-Kashi
  1. Crier au loup.org
  2. Petite terre fulham
  3. Messagerie académique marseille
  4. Miroir maison du monde